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「数学:自然科学の屋台骨」

(9)数学とその論理性(1回:次の3課題の中から1課題を選んで実験)

(9-A)RSA暗号

インターネットのセキュリティ技術としてしばしば用いられる現代の暗号は「公開鍵暗号」と呼ばれるものであり、その暗号を最初に実現したのがRSA暗号である。その原理は、割算のあまりという非常に初歩的な理論を使う。この理論をもちいて、どのように暗号を作り、また解読するか、ということを体験する。厳密には、“実験”でなく“作業”となる。

(9-B)連分数と基本単数

 整数論でPell方程式とよばれる不定方程式がある。その解は、連分数によってすべて求めることができることが知られている。その際、基本単数というものが現れる。その大きさはある程度大きいものが無限個あるのではないかと信じられているが、それは、未解決の問題である。その様子を、計算機を用いて推察するのが、この課題である。数学者も、定理の証明には、このような“実験”を行うという例を示す。

(9-C)小数による実数の四則演算

実数は、誰でも使う対象だが、厳密に定義するのはやさしくない。実数を無限小数として定義したとすると、加減乗除をどう定義するかという問題がおこる。たとえば、x, yが実数なら、その小数点第n位までとった数を、x(n), y(n)とするとき、加減乗除をx(n), y(n)を使って、無限小数として定義できるかという疑問が起きる。答えは、Noだが、それを“実験”によって納得させるのがこの課題である。

(10)球面三角形の幾何学

 球面幾何学は、平面の幾何学とは大きく異なる。例えば、半径1の球面上の三角形の内角の和は、180度より常に大きくなる。これは、通常知られていることであるが、さらに、内角の和と180度との差は、その三角形の面積と一致する。この定理を、ガウス・ボンネの定理と呼ぶ。この定理を、実際に球面上に3角形を描いて、切り出し、角度と面積を測定することにより、実証する。このことから、例えば、正確な地図の作成が不可能なことがわかる。

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